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1. 基础度量公式（输入参数）

• 单个资产的预期收益（期望收益率）：
  $$E(R_i)=\sum_{s=1}^{n}p_s \cdot R_{i,s}$$

  其中 $p_s$ 为第 $s$ 种情景发生的概率，$R_{i,s}$ 为该情景下的收益率。

• 单个资产的风险（方差/标准差）：
  $$\sigma_i^2=\sum_{s=1}^{n}p_s \cdot [R_{i,s}-E(R_i)]^2$$
  $$\sigma_i=\sqrt{\sigma_i^2}$$

  参数说明：$\sigma_i^2$ 为资产 $i$ 的方差，衡量波动的平方；$\sigma_i$ 为标准差，也就是更直观的波动率。

  详细说明：方差衡量收益偏离平均值的程度，标准差则把风险还原回与收益率相同的量纲，因此更常被直接用作“风险”的表示。

• 两资产间的协方差：
  $$\mathrm{Cov}(R_i,R_j)=\sigma_{ij}=\sum_{s=1}^{n}p_s \cdot [R_{i,s}-E(R_i)] \cdot [R_{j,s}-E(R_j)]$$

  参数说明：$\sigma_{ij}$ 是资产 $i$ 与资产 $j$ 的协方差；当它为正时，两者更倾向于同涨同跌；为负时，更倾向于反向变动。

  详细说明：协方差是组合分散化真正起作用的地方。组合风险不只来自单个资产自己的波动，还来自资产之间是否同向波动。

• 相关系数（标准化协方差）：
  $$\rho_{ij}=\frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i \cdot \sigma_j}, \quad -1 \le \rho_{ij} \le 1$$

  参数说明：$\rho_{ij}$ 为相关系数，取值范围在 $-1$ 到 $1$ 之间；$\rho_{ij}=1$ 表示完全同向，$\rho_{ij}=-1$ 表示完全反向。

  详细说明：相关系数把协方差换成了无量纲指标，便于直接比较资产之间的联动强弱，也是页面里相关性矩阵的核心含义。

2. 投资组合的收益与风险（等价公式合并）

假设组合中有 $N$ 个资产，权重为 $w_i$，且 $\sum_{i=1}^{N} w_i = 1$。

• 组合预期收益率（线性加权）：
  $$E(R_p)=\sum_{i=1}^{N} w_i \cdot E(R_i)$$

  参数说明：$E(R_p)$ 为组合预期收益率；$w_i$ 为第 $i$ 个资产在组合中的权重；$E(R_i)$ 为第 $i$ 个资产的预期收益率。

  详细说明：组合收益就是各资产收益的加权平均，因此权重滑块越大，该资产对组合总收益的贡献越明显。

• 组合方差（以下几种写法完全等价）：
  $$\sigma_p^2=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N} w_i w_j \sigma_{ij}$$
  $$\sigma_p^2=\sum_{i=1}^{N} w_i^2 \sigma_i^2+\sum_{i=1}^{N}\sum_{\substack{j=1 \\ j \ne i}}^{N} w_i w_j \sigma_{ij}$$
  $$\sigma_p^2=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N} w_i w_j \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$$
  $$\sigma_p^2=\mathbf{w}^{\mathsf{T}}\Sigma\mathbf{w}$$

  参数说明：$\sigma_p^2$ 为组合方差；$\sigma_{ij}$ 为协方差；$\rho_{ij}$ 为相关系数；$\sigma_i,\sigma_j$ 为资产波动率；$\Sigma$ 为协方差矩阵；$\mathbf{w}$ 为权重向量。

  详细说明：第一种写法最直接地把所有资产两两配对；第二种把它拆成“自身波动项 + 资产配对项”；第三种把协方差改写成“相关系数 × 两个资产的波动率”；第四种是矩阵写法，便于程序计算和金融理论表达。页面里的实时风险展开，就是第二种写法的可视化版本。

• 组合标准差（总风险）：
  $$\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}=\sqrt{\mathbf{w}^{\mathsf{T}}\Sigma\mathbf{w}}$$

  参数说明：$\sigma_p$ 为组合标准差，也就是通常展示给用户的组合波动率。

  详细说明：方差是风险的平方形式，更适合推导；标准差则与收益率同量纲，更适合在图表和投资决策里直接比较。

3. 风险调整后的收益指标

• 夏普比率（Sharpe Ratio）：
  $$\text{Sharpe Ratio}=\frac{E(R_p)-R_f}{\sigma_p}$$

  参数说明：$E(R_p)$ 为组合预期收益率；$R_f$ 为无风险利率；$\sigma_p$ 为组合标准差。

  详细说明：夏普比率衡量“每承担一单位风险，能换来多少超额收益”。数值越高，说明同等风险下组合更有效率；如果收益差不多，则夏普更高的组合意味着风险控制更好。